ลวดลายในธรรมชาติ ความสวยงามที่แฝงไปด้วยลำดับทางคณิตศาสตร์
ด้านมืดของดวงจันทร์ มีอะไร?
ด้านไกล (มืด) ของดวงจันทร์
มีนาคม 18, 2019
หลุมดำ M87 ภาพถ่ายหลุมดำแรกในประวัติศาสตร์ (ภาพจริง)
หลุมดำ M87 ภาพถ่ายหลุมดำแรกในประวัติศาสตร์ (ภาพจริง)
เมษายน 20, 2019
คณิตศาสตร์ ที่ซ่อนอยู่ในธรรมชาติ

© Chris 73/ Wikimedia Commons

ลวดลายในธรรมชาติของสิ่งต่างๆรอบตัวเรานั้น ในบางครั้งพวกมันดูเหมือนมีแบบแผนที่ชัดเจน และสวยงาม จนทำให้เราอดคิดที่จะไม่สงสัยได้เลยว่า ทำไมธรรมติ ถึงได้รังสรรค์มันขึ้นมาอย่างมีความปราณีตเช่นนี้ ซึ่งการปรากฎขึ้นของลวดลายทั้งหลายไม่ว่าจะสิ่งใกล้ตัวเรา หรือตลอดไปจนถึงความยิ่งใหญ่ในระดับจักรวาลนั้น สิ่งเหล่านี้ล้วนแล้วแต่มีรูปแบบที่เรียบง่าย ไปจนถึงในระดับโครงสร้างที่มีความสลับซับซ้อนในทางคณิตศาสตร์ เช่นรูปแบบความสมมาตรต่างๆ, ต้นไม้, เกลียวก้นหอย, เส้นทางคดเคี้ยวของลำน้ำ, รูปคลื่น, รูปแบบการก่อตัวของฟองโฟม, รูปแบบรอยต่อบนพื้นผิว, รอยแตก และ รอยริ้ว

สมัยก่อนนักปรัชญากรีกเอง ก็เคยได้ทำการศึกษาลวดลายในแบบต่างๆอยู่เหมือนกัน เช่น เพลโต, พีทาโกรัส และเอมเพโดคลีส พวกเขาเหล่านี้ต่างก็พยายามต้องการจะเข้าใจถึงลำดับในธรรมชาติ ซึ่งความรู้ความเข้าใจต่อแบบแผนธรรมชาติโดยความสงสัยของมนุษย์นี้เอง ก็ยังคงได้รับการสืบสานเรื่อยมาในตลอดช่วงประวัติศาสตร์มนุษย์

ในศตวรรษที่ 19 มีนักวิทยาศาสตร์หลายท่านที่เริ่มทำการศึกษาลวดลายในธรรมชาติกันอย่างจริงจังมากขึ้น ไล่มาตั้งแต่นักฟิสิกส์ชาวเบลเยียม ที่ชื่อ ‘โจเซฟ เพลโต’ (Joseph Plateau) ซึ่งเขาได้ทำการทดสอบฟิล์มสบู่ (Soap film) เพื่อศึกษาถึงรูปแบบลวดลายของฟองน้ำเหล่านี้ และการทดลองดังกล่าวก็ได้นำพาเขาไปสู่ผลลัพธ์ Minimal surface concept หรือ แนวคิดของ ‘พื้นผิวที่เล็กที่สุด’ ขึ้นในตอนท้าย ในขณะที่นักชีววิทยาและจิตรกรชาวเยอรมันที่ชื่อ ‘แอร์นสท์ เฮคเคิล’ (Ernst Haeckel) ก็เคยได้วาดรูปสิ่งมีชีวิตในท้องทะเล (Marine Organisms) มากกว่าร้อยชนิด ที่ตระหนักให้เห็นถึงความสมมาตรของชีวิตได้อย่างสวยงาม ถัดมา นักชีววิทยาชาวสก็อตที่ชื่อ ‘ดิอาร์ซี เวนท์เวิร์ท ทอมป์สัน’ (D’Arcy Wentworth Thompson) เป็นผู้ริเริ่มศีกษาการเกิดขึ้นของลวดลายต่างๆทั้งในพื้ชและสัตร์อย่างจริงจังขึ้น และเขายังแสดงให้เห็นว่าด้วยสมการง่ายๆก็สามารถอธิบายได้ถึงรูปแบบการเจริญเติบโตในลวดลายของ ‘เกลียว’ (spiral) ได้

และในช่วงศตวรรษที่ 20 ‘อลันทัวริง’ (Alan Turing) นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ ก็สามารถคาดการณ์ถึงกลไกการเกิดของ ‘มอฟโฟเจนีซิส’ (Morphogenesis) ได้สำเร็จ ‘มอฟโฟเจนีซิส’ ก็คือ การเกิดรูปร่างซึ่งเป็นกระบวนการทางชีววิทยาที่ทำให้สิ่งมีชีวิตได้เกิดเป็นรูปร่างดังที่เป็นอยู่ได้ ซึ่งนี่ถือเป็นพื้นฐานสำคัญอย่างหนึ่งในรากฐานทั้ง 3 ของชีววิทยาพัฒนาการ (อีก 2 อย่าง คือ การเจริญของเซลล์แบบควบคุม และการแยกประเภทของเซลล์) ต่อมานักชีววิทยาชาวฮังการี ‘อริสติด ลินเดินไมเยอร์’ (Aristid Lindenmayer) และนักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกันฝรั่งเศสที่ชื่อ ‘เบอนัว ม็องแดลบรอต’ (Benoît Mandelbrot) แสดงให้เห็นว่าคณิตศาสตร์ ‘แฟร็กทัลส์’ (fractals) นั่นสามารถสร้างรูปแบบการเจริญเติบโตในพืชได้อย่างไร

ศาสตร์ต่างๆทั้งจาก เลขคณิต, ฟิสิกส์ รวมไปถึงเคมี ความรู้เหล่านี้มีส่วนช่วยในการอธิบายถึงรูปแบบ และลวดลายที่สลับซับซ้อนในชีวิตของเราได้ ทั้งจากกระบวนการทางชีววิทยาของการคัดสรรทางธรรมชาติ รวมไปจนถึงระบบการสืบพันธุ์ในสิ่งมีชีวิต ซึ่งปัจจุบันด้วยเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์นี้เอง ก็ได้เข้ามามีส่วนช่วยอำนวยความสะดวกในการคำนวณมากยิ่งขึ้น จึงทำให้นักวิทยาศาสตร์ในช่วงหลัง สามารถเห็นโครงสร้างสลับซับซ้อนขนาดใหญ่ที่ก่อตัวขึ้นมาจากลวดลายอันเรียบง่ายขึ้นได้ อย่างไม่เคยมีมาก่อน

ประวัติ

ในเรื่องของการศึกษาธรรมชาติของมนุษย์นั้น เราคงต้องย้อนกลับไปในอดีตในช่วง 570 – 495 ปีก่อนคริศกราชกันเลยทีเดียว ซึ่งในยุคนั้นบุคคลที่ดังๆคุ้นหูเราก็จะมี ปีทาโกรัส ออฟ ซามอส( Pythagoras of Samos ) ซึ่งพีทาโกรัสได้ขึ้นชื่อว่าเป็น “บิดาแห่งตัวเลข” เขาคือนักคณิตศาสตร์และนักปราชญ์ชาวกรีกโบราณ และมีความพยายามอย่างมากเพื่ออธิบายธรรมชาติด้วยเลขลำดับทางคณิตศาสตร์ ซึ่งถือเป็นวิธีการทางวิทยาศาสตร์สมัยใหม่เลยทีเดียว และเขายังเชื่อว่า รูปแบบลวดลายทางธรรมชาตินั้นเหมือนกับ ดนตรีผสานเสียงที่เปล่งออกมาจากตัวเลข ซึ่งเขาได้ยกให้เลขคณิตเนี่ยคือองค์ประกอบพื้นฐานของการมีอยู่ของชีวิตเลยทีเดียว

ต่อมาก็เป็นในยุคของเอมเพโดคลีส( Empedocles) ช่วง 494- 434 ปีก่อนคริสต์ศักราช เขาคนนี้ได้เคยพยายามคาดการณ์ล่วงหน้าถึงทฤษฎีวิวัตินาการของชาลส์ ดาร์วิน( Charles Darwin) มาแล้ว ถึงโครงสร้างของสิ่งมีชีวิต แต่ก็ยังไม่มีความละเอียดและชัดเจนเท่าทฤษฎีวิวัตินาการของชาลส์ ดาร์วินสักเท่าไหร่

ถัดมาก็ในยุคของเพลโตนักปรัชญาชาวกรีกโบราณ Plato ช่วง 427 – 347 ปีก่อนคริสต์ศักราช ซึ่งเขาผู้นี้เป็นคนที่มีความขัดแย้งกับแนวคิดการดำรงอยู่ของจักรวาลธรรมชาติที่สมบูรณ์ โดยเขาเสนอว่าองค์ประกอบของรูปแบบในอุดมคติในทางกายภาพของวัตถุนั้น มีความไม่สมบูรณ์แบบในการคัดลอกตัวเองอยู่ เช่น ดอกไม้อาจมีรูปลักษณ์ที่เป็นวงกลมก็จริง แต่มันไม่เคยกลมอย่างสมบูรณ์เป็นต้น พูดง่ายๆก็คือธรรชาติมันพยายามทำตัวเองให้สมบูรณ์แต่ในความเป็นจริงมันไม่สมบูรณ์นั่นเอง

ต่อมาช่วง 372–287 ปีก่อนคริสต์ศักราช ธีโอฟาธัส Theophrastus (ชาวกรีกอีกแล้ว) ก็เคยตั้งข้อสังเกตให้กับพืชไปว่า ใบไม้ของพืชส่วนมากดูเหมือนมีการงอกออกมาในแบบของชุดลำดับเลขอย่างง่าย เช่น งอกออกมาครั้งแรกก็จะมี 2 ใบ และพอโตขึ้นก็ตามด้วย 4ใบ แบบนี้เรื่อยๆไปเรื่อยๆเป็นเท่าตัวตามจำนวนกิ่งก้านที่แตกสาขาย่อยออกมา และต่อมาในปีคริสต์ศักราชที่ 23-79 พลินี ดิ เอลเดอร์ หรือ พลินีผู้อาวุโส (Pliny the Elder) ก็ได้ให้ข้อสังเกตเพิ่มเติมต่อพืชไปอีกว่า พวกมันมีการจัดเรียงตัวกันขึ้นมาในลักษณะของวงกลม

1 ศตวรรษต่อมา (นานมาก) ในช่วงปี 1452–1519 (เลโอนาร์โด ดา วินชี)  Leonardo da Vinci ก็พบว่าลวดลายในใบไม้มีการจัดเรียงตัวอยู่ในลักษณะหมุนเกลียว

ปี ค.ศ.1571–1630 โยฮันเนส เคปเลอร์ (Johannes Kepler) ชีให้เห็นว่าในธรรมชาติเนี่ย มีลำดับเลขฟีโบนัชชีอยู่ และเขาก็แสดงให้เห็นว่าดอกไม้บางดอกมีการเจริญเติบโตในรูปแบบของ ห้าเหลี่ยม

ในปี 1754 ชาร์ล บอนเน็ต (Charles Bonnet) สังเกตพบว่า บางต้นไม้มีการจัดเรียงตัวกันในรูปแบบฟิลโลท็อกซิสแบบก้นหอย (spiral phyllotaxis) หรือการหมุนเกลียวออกมาจากศูนย์กลาง ทั้งแบบตามเข็มนาฬิกา และทวนเข็มนาฬิกา ในชุดลำดับเลข golden ratio series (ชุดเลขของ อัตราส่วนทอง) เช่นรากไม่รู้จบ เช่น สแควรูท1 + สแควรูท1 +สแควรูท1 ซ้อนไปเรื่อยๆ หรือเศษส่วนไม่รู้จบ ก็ 1 บวก เศษ 1 ส่วน 1+เศษ1ส่วน ซึ่งเราก็สามารุเขียนออกมาในสูตรพีชคณิตได้ว่า 1+สแควรูท5 ส่วน2

golden ratio series (ชุดเลขของ อัตราส่วนทอง)

ปี1837 เอกุส บราเวียส Auguste Bravais นักฟิสิกส์ชาวฝรั่งเศษ และหลุยส์ พี่ชายของเขาก็ได้ทำการเชื่อมต่อรูปแบบของฟิลโลท็อกซิสแบบก้นหอย( phyllotaxis) เข้ากับชุดลำดับเลขฟีโบนัชชีได้อย่างลงตัว ซึ่งมันได้เผยให้เห็นได้อย่างชัดเจนบนลวดลายของ โคนต้นสน กับผลพืชไม้ที่เราน่าจะคุ้นกันดีอย่างสัปปะรด

ชุดลำดับเลขฟีโบนัชชีก็คือ ชุดลำดับจำนวนเต็มดังต่อไปนี้ 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 .. ไปเรื่อยๆ  ซึ่งจะสังเกตได้ว่า เลขถัดไปในลำดับฟีโบนัชชีก็คือ จำนวน 2 เลขก่อนหน้ารวมกันนั่นเอง ซึ่งหากเราเอาชุดเลขเหล่านี้มาสร้างขึ้นเป็นรูปของ 4 เหลี่ยมด้านเท่าก็จะได้ 4 เหลี่ยมจัสตุรัสหลายๆกล่องค่อยๆเรียงตัววนใหญ่ขึ้นเรื่อยๆ (โดยคร่าวๆ)

ชุดเลขฟีโบนัชชีจัดเรียงในรูปของ 4 เหลี่ยม
หากเราลากเส้นวนออกมาจากกล่องข้างในสู่นอก เราก็จะได้ลวดลายของเกลียวก้นหอย

และระหว่างปีค.ศ 1834–1919 นักชีววิทยาและจิตรกรชาวเยอรมันที่ชื่อ ‘แอร์นสท์ เฮคเคิล’ (Ernst Haeckel) ก็เคยได้วาดรูปสิ่งมีชีวิตในท้องทะเล (Marine Organisms) มากกว่าร้อยชนิด ที่ตระหนักให้เห็นถึงความสมมาตรของชีวิตได้อย่างสวยงาม ถัดมา นักชีววิทยาชาวสก็อตที่ชื่อ ‘ดิอาร์ซี เวนท์เวิร์ท ทอมป์สัน’ (D’Arcy Wentworth Thompson) เป็นผู้ริเริ่มศีกษาการเกิดขึ้นของลวดลายต่างๆทั้งในพื้ชและสัตร์อย่างจริงจังขึ้น และเขายังแสดงให้เห็นว่าด้วยสมการง่ายๆก็สามารถอธิบายได้ถึงรูปแบบการเจริญเติบโตในลวดลายของ ‘เกลียว’ (spiral) ได้

ในช่วงศตวรรษที่ 20 ของปี ค.ศ. 1912–1954 ‘อลันทัวริง’ (Alan Turing) นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ ก็สามารถคาดการณ์ถึงกลไกการเกิดของ ‘มอฟโฟเจนีซิส’ (Morphogenesis) ได้สำเร็จ ‘มอฟโฟเจนีซิส’ ก็คือ การเกิดรูปร่างซึ่งเป็นกระบวนการทางชีววิทยาที่ทำให้สิ่งมีชีวิตได้เกิดเป็นรูปร่างดังที่เป็นอยู่ได้ ซึ่งนี่ถือเป็นพื้นฐานสำคัญอย่างหนึ่งในรากฐานทั้ง 3 ของชีววิทยาพัฒนาการ (อีก 2 อย่าง คือ การเจริญของเซลล์แบบควบคุม และการแยกประเภทของเซลล์) ต่อมาในปี 1968 นักชีววิทยาชาวฮังการี ‘อริสติด ลินเดินไมเยอร์’ (Aristid Lindenmayer) และนักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกันฝรั่งเศสที่ชื่อ ‘เบอนัว ม็องแดลบรอต’ (Benoît Mandelbrot) แสดงให้เห็นว่าคณิตศาสตร์ ‘แฟร็กทัลส์’ (fractals) นั่นสามารถสร้างรูปแบบการเจริญเติบโตในพืชได้อย่างไร ซึ่งก็คือ fractals ลวดลายหรือโครงสร้างใดๆก็ตามที่ครั้งเมื่อเราขยายออก รูปร่างของมันก็จะยังคงเหมือนเดิมเสมอ

สาเหตุของความสวยงามของลวดลายในธรรมชาติ

ความสวยงามของกล้วยไม้(orchids), นกฮัมมิ่งเบิร์ด (hummingbirds), หรือ หางของนกยูง ( peacock’s tail) หากเราสังเกตดูดีๆมันเหมือนราวกับถูกออกแบบมาได้อย่างลงตัวและสวยงามมาก ทั้งสีสันต่างๆและโครงสร้างของมัน แล้วเหตุใดมันถึงถูกปราณีตให้สวยงามเช่นนั้น โดยในทางวิทยาศาสตร์ ความสวยงามเหล่านี้นักวิทยาศาสตร์พบว่ามันมีสอดคล้องกับสมการในทางคณิตศาสตร์ ซึ่งลวดลายต่างๆเหล่านี้จะแปรผันไปตามกระบวนการคัดสรรทางธรรมชาติ ซึ่งจะเป็นตัวควบคุมว่าจะเลือกให้มันมีการเจริญเติบโตในลักษณะไหน

โดยนักคณิตศาสตร์จากหลายยุคหลายสมัยต่างก็พยามทำความเข้าใจ ถึงลวดลายในธรรมชาติและพอจะสรุปออกมาได้ว่า สาเหตุที่ทำให้เกิดลวดลายต่างๆขึ้นนั้นก็เป็นผลมาจากพฤติกรรมของระบบพลวัต ซึ่งได้ถูกอธิาบายไว้ในทฤษฎีความอลวน (chaos theory) ซึ่งอธิบายประมาณว่า ทุกสิ่งมีการเปลี่ยนแปลงตามเวลาที่เปลี่ยนไปอยู่ตลอด, รวมไปถึงลวดลายในแบบ fractals, เกลียวลอการิทึม, ทอพอโลยี (Topology) ก็คือ คุณสมบัติทางรูปร่างที่ไม่แปรเปลี่ยนภายใต้การดึง ยืด หด บีบ (โดยไม่มีการฉีก การเจาะ หรือ การเชื่อมติดใหม่) และยังมีสาเหตุอื่นๆอีกในทางคณิตศาสตร์ที่สามารถอธิบายถึงความสวยงามในลวดลายธรรมชาติ เช่น L-systems หรือ Lindenmayer system ซึ่งระบบ L นี้มักนิยมใช้ในการสร้างแบบจำลองในพืช และสิ่งมีชีวิตอื่นๆ รวมไปถึงอะไรที่มีลักษณะคล้ายๆกัน

Topology ก็คือ คุณสมบัติทางรูปร่างที่ไม่แปรเปลี่ยนภายใต้การดึง ยืด หด บีบ

อีกทั้งในกฎฟิสิกส์ประยุกต์ ที่ได้ลองใช้หลักการทางคณิตศาสตร์กับโลกแห่งความเป็นจริงก็พบว่า ผลที่อออกมานั่นค่อนข้างสมบูรณ์แบบ ยกตัวอย่างเช่น คริสตัล (crystal) จะมีความสมบูรณ์หากไม่ถูกรบกวนในเชิงโครงสร้างเสียก่อน ก็จะพบว่ามันมีการเคลื่อนที่อย่างบูรณ์และสมมาตรมากๆ

ซึ่งความสมบูรณ์แบบในทางคณิตศาสตร์ที่แน่นอน จะสามารถประมาณการณ์ลวดลายหรือรูปแบบโครงสร้างของวัตถุจริงเท่านั้น ขณะที่ในธรรมชาติส่วนใหญ่มักมีการเปลี่ยนแปลงอยู่ในกรอบของกฎฟิสิกส์ ตัวอย่างเช่นการคดเคี้ยวไปมาของแม่น้ำซึ่งเกิดจากการกัดเซาะของน้ำที่ไหลผ่านแล้วตวัดไปมา สามารถอธิบายได้ด้วย ในวิชาพลศาสตร์ของไหล (fluid dynamics)

ส่วนในสาขาวิชาชีววิทยา ก็สามารถอธบายถึงสาเหตุการเกิดลวดลายในธรรมชาติในสิ่งมีชีวิตได้อยู่เช่นกัน เช่นในเรื่องของการดำรงอยู่, การเอาตัวรอดด้วยการอำพลางตัว, ระบบการเลือกเพศ, การสื่อสาร, ลวดลายในปีกผีเสื้อ  รวมไปถึง Cleaning symbiosis หรือ ความสัมพันธ์ที่เป็นประโยชน์ร่วมกันระหว่างสองสิ่งมีชีวิตแบบในหมู่ปลาทะเล หรือใกล้ตัวเราสุดก็คือความสัมพันธ์เชิงผลประโยชน์ของนกเอี้ยงกับควาย ที่นกจะคอยบินมาเกาะกินแมลงบนหลังควายนั่นเอง

ส่วนในพืชทางชีววิทยาก็จะศึกษาในส่วนของรูปร่าง, สี , ความสัมพันธ์ของการผสมเกสรดอกไม้กับแมลง เช่นดอกลิลลี่ ( lily) ที่วิวัตฒนาการตัวเองขึ้นมาจนสามารถดึงดูดแมลงต่างๆหรือผึ้ง ให้เข้ามาช่วยผสมเกสรเป็นต้น อีกทั้งลวดลายและสีของดอกไม้บางชนิดต้องมองผ่านภายใต้แสงอินฟราเรดเท่านั้นถึงจะมองเห็นได้ เช่นดอก มิมูลัส (Mimulus) ที่ผึ่งจะสามารถมองเห็นได้ในย่านแสงอินฟราเรด ขณะที่ตาของมนุษย์เราไม่อาจเห็นได้เช่นนั้น

Sci Ways
Sci Ways
นักเดินทางข้ามกาลเวลา

ใส่ความเห็น

อีเมลของคุณจะไม่แสดงให้คนอื่นเห็น ช่องที่ต้องการถูกทำเครื่องหมาย *

Facebook
กลับสู่บนสุด